Wycena europejskich opcji kupna w modelach rynku z czasem dyskretnym. Uogólnienia formuły Blacka-Scholesa / Emilia Fraszka-Sobczyk

Monografia poświęcona jest wycenie europejskich opcji kupna na akcje w uogólnionych modelach Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR). Poza wykładem dotyczącym klasycznego modelu CRR oraz modelu Blacka-Scholesa analizie poddane są przede wszystkim autorskie koncepcje wyceny opcji w uogólnionym modelu CRR – zarówno w takim, w którym logarytmy cen akcji mają niezerowy dryf, jak i w którym stopa procentowa rachunku bankowego oraz współczynnik zmienności cen akcji (volatility) zmieniają się skokowo między długimi przedziałami czasu, na jakie został podzielony okres trwania kontraktu opcyjnego.

W książce podano wzory na wycenę opcji w zaprezentowanych modelach oraz badano asymptotyki cen opcji, gdy liczba chwil zmiany składu portfela w każdym przedziale czasu dąży do nieskończoności. W konsekwencji wyprowadzono wzory będące uogólnieniami sławnej formuły Blacka-Scholesa. Dokonano również analizy wrażliwości cen opcji.

Badania wykazały, że wycena opcji kupna na indeks WIG20, w oparciu o uzyskane graniczne formuły na wycenę opcji w przedstawionych uogólnionych modelach CRR, umożliwia trafniejsze oszacowanie rynkowej ceny opcji niż formuła Blacka-Scholesa. Zaprezentowane dyskretne modele wyceny opcji wraz z ich przejściami granicznymi mogą stanowić użyteczne narzędzia do wyceny opcji na rynku kapitałowym.

Wstęp 7

Rozdział 1. Klasyczny model Coxa-Rossa-Rubinsteina (model CRR) 13

1.1. Drzewo dwumianowe. Strategia. Warunek samofinansowania 13

1.2. Twierdzenie CRR 20

1.3. Kalibracja modelu CRR 23

1.4. Formuła Blacka-Scholesa 25

Rozdział 2. Uogólnienie modelu CRR 29

2.1. Wycena opcji 30

2.2. Przejście graniczne 32

2.3. Współczynniki wrażliwości ceny opcji 37

2.4. Przykłady liczbowe wycen 55

Rozdział 3. Model CRR z parametrami zmieniającymi się w czasie dla dwóch jednostek czasu 61

3.1. Jednostajna zbieżność formuły CRR do formuły Blacka-Scholesa 62

3.2. Graniczna cena akcji w modelu CRR 71

3.2.1. Równania stochastyczne dla granicznego procesu cen akcji 74

3.3. Wycena opcji, gdy parametry rynku są stałe w każdym z dwóch kolejnych przedziałów czasu 77

Rozdział 4. Model CRR z parametrami zmieniającymi się w czasie dla trzech jednostek czasu 105

4.1. Jednostajna zbieżności formuły CRR z parametrami zmieniającymi się w czasie dla dwóch jednostek czasu 107

4.2. Wycena opcji, gdy parametry rynku są stałe w każdym z trzech kolejnych przedziałów czasu 116

Rozdział 5. Model CRR z parametrami zmieniającymi się w czasie dla dowolnej liczby jednostek czasu 129

5.1. Jednostajna zbieżności formuły CRR z parametrami zmieniającymi się w czasie dla trzech jednostek czasu 129

5.2. Wycena opcji, gdy parametry rynku są stałe w każdym z czterech przedziałów czasu 134

5.3. Jednostajna zbieżności formuły CRR z parametrami zmieniającymi się w czasie dla czterech jednostek czasu 142

5.4. Wycena opcji oraz jednostajna zbieżności formuły CRR, gdy parametry rynku są stałe w każdym z dowolnej liczby m przedziałów czasu 143

5.5. Współczynniki wrażliwości ceny opcji 145

Rozdział 6. Badania empiryczne 155

6.1. Wycena opcji notowanych na GPW w Warszawie na podstawie modelu Blacka-Scholesa oraz uogólnionego modelu Blacka-Scholesa 157

6.2. Wycena opcji notowanych na GPW w Warszawie na podstawie modelu Blacka-Scholesa oraz modelu Blacka-Scholesa z parametrami zmieniającymi się w czasie 163

6.3. Podsumowanie 168

Zakończenie 169

Dodatek 1 171

Dodatek 2 187

Wykaz oznaczeń 209

Bibliografia 213